В древние времена, когда люди начали
считать, появилась потребность в записи
чисел.
Количество предметов изображалось
нанесением черточек или засечек на
какой-либо твёрдой поверхности: камне,
дереве, глине. Позже значки стали
группировать по три или по пять. Такая
система записи чисел называется
единичной (унарной), так как любое
число в ней образуется путем повторения
одного знака, символизирующего единицу.
Отголоски единичной системы счисления
встречаются и сегодня (счетные палочки для
обучения счету; полоски, нашитые на рукаве,
означают на каком курсе учится курсант
военного училища).
Для записи информации о количестве
объектов используются числа. Числа заключают
в себе количественную информацию. Числа
записываются с использованием особых
знаковых систем, которые называются
системами счисления.
Система счисления (СС)-
способ записи чисел с помощью некоторого
алфавита, символы которого называют
цифрами.
Алфавит– это набор цифр,
используемый в записи числа в данной СС.
Различают СС позиционные и непозиционные.
Позиционные - количественное
значение каждой цифры числа
зависит от того, в каком месте
(позиции или разряде) записана та или иная
цифра. (В числе 252 – первая двойка означает
количество сотен, последняя – количество
единиц)
Непозиционные - количественное
значение цифры числа не зависит от
того, в каком месте (позиции или разряде)
записана та или иная цифра.
Пример позиционной системы счисления —
арабская (современная десятичная),
непозиционной — римская.
К непозиционным системам
исчисления можно отнести системы счисления
древности: старославянскую,
древнеегипетскую, китайскую, ацтеков, майя …
Недостатки: Очень сложно
выполнять математические расчеты и
необходимо большого числа различных знаков
для записи чисел, особенно больших
Приведем пример самой распространенной из
непозиционных систем счисления является
римская. В качестве цифр используются
следующие латинские буквы:
I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D
– 500, M – 1000.
Величина числа определяется как сумма или
разность цифр в числе.
444=400+40+4=(D-С)+(L-X)+(V-I)=CDXLIV
Первая позиционная система счисления была
придумана еще в Древнем Вавилоне, причем
вавилонская нумерация была
шестидесятеричная, т.е. в ней
использовалось шестьдесят цифр. (До сих пор
считаем, час - 60 минут, минута - 60 секунд,
окружность - 360о).
В позиционных СС количественное значение
цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция
цифры в числе называется разрядом. Разряды
возрастают справа налево (единицы, десятки,
сотни и т.д.).
Основанием СС - количество
различных символов (цифр), используемых для
изображения числа в позиционных системах
счисления, называется . (Например,
32245
число записано в пятеричной СС, читается
"три-два-два-четыре в пятеричной СС")
Например, в десятичной системе
счисления, которой мы пользуемся, алфавит
состоит из десяти цифр {0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9}, соответственно основание
равно 10.
Шестнадцатеричная СС. Основание - 16.
Алфавит - 0 ... 9, A, B, C, D, E, F.
(Например 2D616
"два-д-шесть в шестнадцатеричной СС, цифре А
соотв. 10 в десятичной СС, B - 11, C - 12, D
- 13, E - 14, F - 15)
В современной информатике используются в
основном двоичная, восьмеричная,
шестнадцатеричная СС. Двоичная система
счисления используется для кодирования
дискретного сигнала в вычислительной
технике, поскольку двоичный сигнал проще
представлять на аппаратном уровне. В этой
системе счисления для представления числа
применяются два знака – 0 и 1.
Перевод чисел из любой позиционной СС в
десятичную
Мы пользуемся свернутой формой
записи числа, но мы знаем, что, например,
число 352 = 3*100+5*10+2.
В развернутой форме
производится умножение цифр числа на степень
основания, т.е. 352=3*102+5*101+2*100.
Т.о. любое число в
позиционной СС можно записать в развернутой
форме и перевести в десятичную СС.
В памяти компьютера числа
представлены в двоичной СС, поэтому в
информатике часто возникает необходимость
перевода чисел из двоичной системы в
десятичную и обратно. Приведем пример
перевода двоичного числа:
В записи числа в шестнадцатеричной системе
счисления D=13.
Перевод чисел из десятичной СС в любую
позиционную систему счисления.
Существует алгоритм перевода целого
десятичного числа в двоичное:
Последовательно выполнять деление
исходного целого десятичного числа и получаемых
целых частных на основание СС (на 2)
до тех пор, пока частное от деления
не окажется меньше основания СС (<2).
Записать полученные остатки в
обратной последовательности, начиная с
последнего результата.
2510 = 110012
Для перевода дробных десятичных чисел
существует тоже алгоритм. Для этого
необходимо отдельно перевести целую и
дробную часть.
26, 7510 = 26 + 0,75 = 11010+0,11
= 11010,112
Целую часть переведем как указано выше, а
дробную часть переведем по следующему
алгоритму:
последовательно умножать исходную и
получаемые дробные части на основание
системы до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть.
Записать полученные целые части
произведений в прямой
последовательности.
0,
75
*2
Ô
1,
5
*2
1,
0
Поучаем 0,7510 = 0,112
Используя данный алгоритм можно перевести
десятичное число в позиционную систему с
любым основанием.
Система счисления (СС) -
способ записи чисел с помощью некоторого
алфавита, символы которого называют
цифрами.
